Толковый словарь В.Даля: "МОЗАИКА, мусия ж. мозаичное, -ческое или мусийное искусство и произведенье его; искусство подражать живописи набором мелких цветных камней и стекол. Мозаикист, мусийщи, мозаичник м. мозаичный художник"
Ю.А. Данилов. Красота фракталов
Понятие фрактала, введенное в научный обиход Бенуа Мандельбротом, не имеет строгого определения. Следуя духу Начал Евклида, предложившего три описания линии, ни одно из которых не может называться определением с точки зрения современной математики (длина без ширины, граница двух областей, то, что имеет одно измерение), Мандельброт поясняет понятие фрактала как некоего образования, самоподобного или самоаффинного в том или ином смысле. Только такое пояснение позволяет охватить без видимых досадных пробелов широкое множество объектов, достойных называться фракталами.
Любая попытка дать более строгое определение отсекает какой-то достаточно емкий класс объектов, непозволительно сужая мир фракталов. В этой связи нельзя не вспомнить вещие слова Л.И. Мандельштама, сравнивавшего чрезмерно ограничительные определения на начальном этапе существования предмета с губительным пристрастием заворачивать младенца в колючую проволоку. Простейшие фракталы, такие, как канторовская пыль, снежинки и ломаные фон Коха, ковер и губка Серпинского, кривые дракона, кривые Пеано и Гильберта и многие другие, обладают регулярной геометрически правильной структурой. Каждый фрагмент такого геометрически правильного фрактала в точности повторяет всю конструкцию в целом. При менее точном следовании самоаффинности или самоподобию возникают другие, например, случайные фракталы, в которых самоаффинность заключается в сохранении нормальности случайного распределения на разных масштабах, возможно, с различными дисперсиями и средними.
Примерами случайных фракталов могут служить пограничные и береговые линии, поры в хлебе, дырки в некоторых сортах сыра, частицы в порошках и т.д. Фрактальные примеры могут быть как континуальными, так и дискретными. Например, удивительными свойствами самоподобия обладает последовательность М. Морса - А. Туэ, возникающая в самых различных нелинейных динамичееких ситуациях от символической динамики до чисел Фибоначчи и треугольника Паскаля.
Красота фракталов двояка: она услаждает глаз (и слух), о чем свидетельствует хотя бы обошедшая весь мир выставка фрактальных изображений, организованная группой бременских математиков под руководствем Пайтгена и Рихтера. Позднее экспонаты этой грандиозной выставки были запечатлены в иллюстрациях к книге тех же авторов - Красота фракталов. Но существует и другой, более абстрактный или возвышенный, аспект красоты фракталов, открытый, по словам Р. Фейнмана, только умственному взору теоретика, в этом смысле фракталы прекрасны красотой трудной математической задачи. Бенуа Мандельброт указал современникам (и, надо полагать, потомкам) на досадный пробел в Началах Евклида, по которому, не замечая упущения, почти два тысячелетия человечества постигало геометрию окружающего мира и училось математической строгости изложения. Разумеется, оба аспекта красоты фракталов тесно взаимосвязаны и не исключают, а взаимно дополняют друг друга, хотя каждый из них самодостаточен.
Итак, что же такое фрактал? Как уже говорилось, этот термин принедлежит Бенуа Мандельброту. В трех своих книгах (Фрактальные объекты: форма, случай и размерность, изд-во Фламмарион, 1975; Фракталы: форма, случай и размерность, изд-во Фриман, 1977; Фрактальная геометрия природы, изд-во Фриман, 1977 и последующие издания) Бенуа Мандельброт предложил изумленному миру по существу новую неевклидову геометрию - неевклидову не в смысле отказа от аксиомы параллельности, принятой в традиционной евклидовой геометрии, и в замене ее другой аксиомой, как это было сделано в геометрии Н.И. Лобачевского - Я. Бойяи, а в смысле отказа от требования гладкости, неявно подразумеваемого в Началах. Бенуа Мандельброт создал неевклидову геометрию негладких, шероховатых, зазубренных, изъеденных ходами и отверстиями, шершавых и т.п. объектов, своего рода математических парий, по молчаливому уговору изгонявшихся из рассмотрения в пользу более благообразных усредненных, сглаженных, отполированных, спрямленных объектов. Между тем именно - неправильные - объекты составляют подавляющее большинство объектов в природе. Сам Б. Мандельброт охарактеризовал созданную им теорию как морфологию бесформенного.
Фрактальная геометрия природы - Б. Мандельброта открывается следующими словами: Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не окружности, древесная кора не гладкая, молния распространяется не по прямой. В более общем плане я утверждаю, что многие объекты в Природе настолько иррегулярные и фрагментированы, что по сравнению с Евклидом - термин, который в этой работе означает всю стандартную геометрию, - Природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня. Число различных масштабов длины природных объектов для всех практических целей бесконечно. - Красота фракталов сочетает в себе красоту симметричных объектов типа кристаллов; (по выражению Е.С. Федорова, которому принадлежит вывод 230 групп пространственной симметрии, - кристаллы блещут красотой) с красотой живых природных объектов, привлекательных именно своей неправильностью (недаром создатели удивительных по красоте и симметрии резных ворот одного из храмов в Киото умышленно нарушили идеальную симметрию своего творения, по мнению одних - чтобы придать ему большую выразительность, по мнению других - чтобы избежать зависти богов).
Фрактальная геометрия природы по Мандельброту - самая настоящая геометрия, удовлетворяющая определеняю геометрии, предложенному в Эрлангенскрй программе Ф. Клейна. Дело в том, что до появления неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевского - Л. Бойяи, существовала только одна геометрия - та, которая была изложена в Началах, и вопрос о том, что такое геометрия и какая из геометрий является геометрией реального мира, не возникал, да и не мог возникнуть. Но с появленяем еще одной геометрии возник вопрос, что такое геометрия вообще и какая из множества геометрий отвечает реальному миру. По Ф. Клейну, геометрия занимается изучением таких свойств объектов, которые инвариантны относительно преобразований: евклидова - инвариантов группы движений (преобразований, не изменяющих расстояния между любыми двумя точками, т.е. представляющих суперпозицию параллельных переносов и вращений с изменением или без изменения ориентации), геометрия Лобачевского-Бойяи - инвариантов группы Лоренца.
Фрактальная геометрия занимается изучением инвариантов группы самоаффинных преобразований, т.е. свойств, выражаемых степенными законами. Что же касается соответствия реальному миру, то фрактальная геометрия описывает весьма широкий класс природных процессов и явлений, и поэтому мы можем вслед за Б. Мандельбротом с полным правом говорить о фрактальной геометрии природы. Новые - фрактальные - объекты обладают необычными свойствами. Длины, площади и объемы одних фракталов равны нулю, других - обращаются в бесконечность. Чтобы более точно охарактеризовать фракталы, Б. Мандельброт сосредоточил внимание не на них, а на скорости обращения соответствующей величины в нуль или в бесконечности. Эта оценка совпала с уже известной в математике величиной - так называемой размерностью Ф. Хаусдорфа - А.С. Безиковича, совпадающей для гладких объектов с топологической размерностью, равной нулю для точки, единице для линии, двум для плоской фигуры, трем для тел.
Для фракталов размерность Хаусдорфа-Безиковича обычно принимает дробные значения, что, собственно, и дало Мандельброту основание для выбора названия своему детищу от латинского фрактус - дробный. Со временем, однако, выяснилось обстоятельство почти криминального характера: размерности Хаусдорфа-Безиковича некоторых фракталов оказалась целой. Помимо размерности Хаусдорфа-Безиковича фракталы характеризуются и другими размерностями как эмпирического (например, массовая размерность), так и теоретического характера (например, размерности А. Реньи, образующие континуально бесконечное семейство и включающие в себя все известные размерности, в том числе размерность Хаусдорфа-Безиковича, информационную и корреляционную размерности).
Для описания некоторых фракталов одной размерности оказывается недостаточно: такие объекты, называемые мультифракталами, характеризуются целым спектром значений размерности Хаусдорфа-Безиковича. В свое время в поисках гармонии мира И. Кеплер совершил восхождение от геометрических пропорций пяти платоновых тел через пропорции паркетов и звездчатых многогранников, музыкальных созвучий и астрологических аспектов, открыв из соображений динамической симметрий знаменитый третий закон движения планет, связывающий размеры орбиты с периодом обращения по ней. Фрактальная геометрия, описывая не только самоаффинные геометрически правильные объекты со статической, застывшей симметрией, но и многочисленные объекты нелинейной динамики типа странных аттракторов, хаотических траекторий в зазорах между торами Колмогорова-Арнольда-Мозера, гомоклиники и т.д., сочетает статичность геометрических форм с динамикой.
Фракталы обладают еще одной ипостасью, делающей их еще более прекрасными в глазах теоретика. Структура фракталов настолько сложна, что оставляет заметный отпечаток на физических процессах, протекающих на фракталах как на носителях. Фракталы иначе рассеивают электромагнитное излучение, по другому колеблются и звучат, иначе проводят электричество, по фракталам иначе происходит диффузия вещества. Возникает новая область естествознания - физика фракталов. Фракталы становятся удобными моделями, чем-то вроде интегрируемых задач классической механики, для описания процессов в средах, ранее считавшихся неупорядоченными. В отличие от существовавших ранее подходов, основанных, как правило, на усреднении, т.е. на стирании мелких деталей, фрактальная физика учитывает самоаффинную структуру среды. При фрактальном подходе хаос перестает быть синонимом беспорядка и обретает тонкую структуру. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.